Alexander Kauer

Rotation Systems in Three Dimensions

Betreuer: Prof. Dr. Wolfgang Mulzer
Abschluss: Master of Science (M.Sc.)
Abgabedatum: 29.09.2017

Kurzbeschreibung

Zur Lösung vieler geometrischer Probleme bezüglich Mengen an Punkten ist das Wissen um die Orientierung der Punkte untereinander ausreichend. Der Chirotop von einer benannten Punktmenge P ∈ R2 gibt an, ob ein gegebenes Tripel an Punkten im oder gegen den Uhrzeigersinn in der Ebene liegt. Viele grundlegende geometrische Eigenschaften von P, wie beispielsweise die konvexe Hülle, lassen sich bereits aus dem Chirotop ablesen.

Das Radialsystem von P gibt für jeden Punkt p ∈ P die Reihenfolge an, in der die anderen Punkte P \ {p} von einem Strahl getroffen werden, der im Uhrzeigersinn um p rotiert. Ein Chirotop bestimmt eindeutig das Radialsystem der dazugehörigen Punktmenge. Umgekehrt kann aus einem Radialsystem der Chirotop eindeutig gefolgert werden, sofern die ursprüngliche Punktmenge eine konvexe Hülle mit mindestens vier Elementen besitzt. Radialsysteme finden Anwendung unter anderem bei Routing- als auch Sichtbarkeitsproblematiken.

Radialsysteme können aufgrund ihres Prinzips der Rotation eines Strahls nicht direkt für höhere Dimensionen verallgemeinert werden. In dieser Arbeit werden daher mehrere zu Radialsystemen äquivalente Strukturen beschrieben, die aufgrund eines jeweils anderen Fokusses besser auf höhere Dimensionen erweiterbar sind. Diese Strukturen werden anschließend genutzt um Radialsysteme auf verschiedene Weisen auf drei Dimensionen zu erweitern. Die sich ergebenen Strukturen werden untersucht, insbesondere inwiefern sich daraus die Orientierung von Punkten untereinander rekonstruieren lässt.