Prof. Dr. Christian Ausoni (Universität Münster)

Algebraische K-Theorie von schönen neuen Ringen

Die Gruppenvervollständigung ist eine Konstruktion, die einem kommutativen Monoid (eine Gruppe ohne Inverse) auf universelle Weise eine Gruppe zuordnet. Das “K” in K-Theorie steht für die “Klassen”, die in der Definition der Gruppenvervollständigung auftauchen. Quillen definierte die algebraische K-Theorie von Ringen mit Hilfe einer verallgemeinerten Gruppenvervollständigung. Seine Theorie fängt tiefe arithmetische Eigenschaften von Ringen auf.

Ein “schöner neuer Ring” nachWaldhausen ist ein strukturiertes Ringspektrum, also ein Objekt, das eine multiplikative Kohomologietheorie (im Sinn der Topologie) darstellt. Dieser Name ist eine Aufforderung, solch ein (ziemlich kompliziertes) Objekt als einen üblichen Ring zu betrachten, und es von einem algebraischen Standpunkt zu untersuchen. Insbesondere kann man auch die algebraische K-Theorie eines Ringspektrums definieren. In diesem allgemeineren Rahmen entstehen die algebraische K-Theorie von Ringen nach Quillen und die A-Theorie von Räumen nach Waldhausen als Beispiele einer gleichen Konstruktion.

In diesem Vortrag möchte ich einige Aspekte dieser Theorie präsentieren.