Sei  G eine hyperbolische Gruppe und  H  eine endlich präsentierte Gruppe. Eine der herausragenden Errungenschaften der geometrischen Gruppentheorie ist die vollständige und explizite Beschreibung von  Hom(H,G). Trotz dieser Beschreibung ist es im allgemeinen nicht möglich zu entscheiden, ob  Hom(H,G)  einen surjektiven Homomorphismus enthält; so sind das Rangproblem und verwandte Probleme für hyperbolische Gruppen nicht entscheidbar.

Für viele interessante Klassen von hyperbolischen Gruppen und Gruppen, die auf hyper-bolischen Räumen operieren, ist es jedoch möglich eine Faltungstheorie zu entwickeln, die diese Fragen beherrschbar macht. Dies gilt insbesondere für Kleinsche Gruppen.  Wir diskutieren diese Methode und einige Anwendungen.