Geophysical Fluid Dynamics

Numerik

Bei der Entwicklung numerischer Berechnungsverfahren für Strömungs­prozesse setzen wir bis auf wenige Ausnahmen auf Finite-Volumen-Verfahren in Erhaltungs­form, [28,29], wozu wir ggfs. auch diskontinuier­liche Galerkin-Verfahren zählen, [30]: Eine generell bei der nume­rischen Simulation von Atmosphären­strömungen und von turbulenten Strömungen aus dem Bereich der Ingenieurs­anwendungen auftretende Schwierig­keit ist die sogenannte "Unterauflösung". Dieser Begriff umreisst, dass sich wegen der grossen Band­breite von Längen- und Zeitskalen, die solche Strömungen ausmachen, niemals alle Strömungs­details auf dem Computer abbilden lassen -- abgesehen davon, dass man an all diesen Details im allgemeinen auch gar nicht interessiert ist. Der einzige uns bekannte Zugang zur nume­rischen Dar­stellung von Prozessen der Kontinuums­mechanik, dessen Konstruk­tions­prinzip grundsätzlich auch eine Unter­auflösung zulässt, ohne seine Berechtigung zu verlieren, basiert auf der Bilanzie­rung der Erhal­tungs­größen Masse, Impuls, und Energie über endlich große Kontroll­volumina. Dies ist gerade das Konstruktions­prinzip der Finite-Volumen-Verfahren in Erhaltungs­form. Unsere numerischen Arbeiten kon­zentrieren sich daher darauf, diese Methoden für Anwen­dungen in der Atmos­phären­physik weiter­zuentwickeln.

Zu diesen Entwicklungen gehören

- gut balancierte Verfahren, die dominierende Gleichgewichte von Druck- und Gewichtskräften korrekt widerspiegeln, [31,32],

- Verfahren für schwach kompressible Strömungen kleiner Mach oder Froude-Zahl, [33,34,35,36]

Verfahren für schwachkompressible Strömungen

Schwach kom­pres­sible Strömungen tre­ten in geo​phy­sika­​li­schen Pro­ble­men, wie­ Atmos​phä​ren​­strö­mun­gen oder Ozean​​strö​mun​gen, aber auch im Zusam​men​hang mit­ Ver­bren​nungs​​pro​zes­sen auf. Mathe​​matisch werden diese Pro​ble­me durch die Euler- oder Navier-Sto​kes-Gleichun​gen für die Erhal​tung von Masse, Impuls und Ener​gie be­schrie​ben und sind (in ihrer dimen​sions​losen Form) durch kleine Mach-, Froude-, Rossby- und Reynolds​zah­len gekenn​zeich​net. Dabei charak​terisiert insbeson​dere die Mach​zahl den Einfluss der Kom​pres­sibi​lität auf eine gege​bene Strö​mung. Sie wird be­rech​net als das Verhäl​tnis zwischen einer im Pro​blem vorherr​schenden typischen Strömungs​geschwin​digkeit und der Schall​ge­schwin​digkeit.

Die Flachwasser​gleichungen beschrei​ben unter bestimm​ten Bedin​gungen in guter Appro​ximation die zeitliche Entwick​lung von Strömungs​vorgängen, deren horizon​tale Aus​dehnung groß im Ver​gleich zu ihrer vertika​len Ausdeh​nung ist. Durch die Gleichungen werden in jedem Punkt der Horizon​talen die Zeit​verläufe der Fluid​dicke sowie der über die Tiefe des Fluids gemittelten horizon­talen Geschwin­digkeit beschrie­ben. In bestimm­ten Pro­blemen wird die Geschwin­digkeit von Ober­flächen​wellen groß im Vergleich zur Strö​mungs​geschwin​digkeit, was sich mathe​matisch in einer kleinen Froude-Zahl aus​drückt und von der Struktur her äqui​valent zum Auf​treten kleiner Mach​zahlen bei den kom­pres​siblen Strömungs​gleichungen ist. Ein promi​nentes Beispiel für Flach​wasser​strö​mungen kleiner Froude-Zahl sind Tsu­nami-​Wellen, die sich über die Wei­ten der Ozeane hinweg aus​breiten. Wenn ein Tsunami eine Küste er­reicht, wird die Flach​wasser-Theo​rie aller­dings recht ungenau.

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- eine impulserhaltende Diskretisierung des Coriolis-Terms, [37],

- die Darstellung von Strömungsberandungen auf cartesischen (Rechteck-) Gittern mittels Levelset-Verfahren und "angeschnittenen" Kontrollvolumina, [38].

Zusammen mit Kolleginnen und Kollegen in Deutschland und der Schweiz widmen wir uns im Schwerpunktprogram "Multiskalenmodelle in Strömungsmechanik und Meteorologie" (MetStroem), [39], der systematischen Verbindung zwischen numerischen Diskretisierungen der atmos­phärischen Strömungs­gleichungen und der Modellierung der auf einem Rechen­gitter nicht aufgelösten Prozesse.

[28] LeVeque, R.J. (2002) Finite Volume Methods for Hyperbolic Problems,Cambridge University Press, Basel

[29 ]Kroener, D. (1996) Numerical Schemes for Conservation Laws, Wiley and Teubner, pp 480

[30] Cockburn, B (2003) Discontinuous Galerkin methods, ZAMM · Z. Angew. Math. Mech. 83, No. 11, 731 – 754

[31] Botta, N., Klein, R., Langenberg S., Lützenkirchen S. (2004) Well Balanced Finite Volume Methods for Nearly Hydrostatic Flows. , J. Comp. Phys., 196, 539-565

[32] Audusse, E. and Bouchut, F. and Bristeau, M.O. and Klein, R. and Perthame, B. (2004) A fast and stable well-balanced scheme with hydrostatic reconstruction for shallow water flows. Journal of Scientific Computation, 25 (6). pp. 2050-2065.

[33] Klein, R., (1995) Semi-Implicit Extension of a Godunov-Type Scheme Based on Low Mach Number Asymptotics I: One-dimensional Flow, J. Comput. Phys., 121, 213--237

[34] Schneider, T. and Klein, R. (1999) Overcoming Mass Losses in Level-Set-Based Interface Tracking Schemes. In: 2nd International Symposium on Finite Volumes for Complexe Applications - Problems and Perspectives, Berlin, Germany, July 19 - 22, 1999.

[35] Vater, S. and Klein, R. (2009) Stability of a Cartesian grid projection method for zero Froude number shallow water flows. Numerische Mathematik, 113 (1). pp. 123-161.

[36] Klein, R. (2009) Asymptotics, structure, and integration of sound-proof atmospheric flow equations. Theoretical and Computational Fluid Dynamics, 23 (3). pp. 161-195. ISSN 0935-4964 (Print) 1432-2250 (Online)

[37] Audusse, E. and Klein, R. and Owinoh, A.Z. (2009) Conservative Discretization of Coriolis Force. Journal of Computational Physics, 228 (8). pp. 2934-2950.

[38] Klein, R. and Bates, K.R. and Nikiforakis, N. (2009) Well Balanced Compressible Cut-Cell Simulation of Atmospheric Flow. Philosophical Transaction of the Royal Society . (In Press)

[39] DFG- Schwerpunktprogramm MetStroem

Vollständige Publikationsliste der Arbeitsgruppe