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First-Passage-Probleme in partitionierten Räumen

In diesem Beispiel ist der Raum um ein absorbierendes Ziel im Zentrum in zwei Domänen aufgeteilt. Die Teilchenbahnen werden an den Domänengrenzen zerlegt, was zu dem rechts skizzierten nicht-Markovschen Sprungprozess mit drei Zuständen führt.

In diesem Beispiel ist der Raum um ein absorbierendes Ziel im Zentrum in zwei Domänen aufgeteilt. Die Teilchenbahnen werden an den Domänengrenzen zerlegt, was zu dem rechts skizzierten nicht-Markovschen Sprungprozess mit drei Zuständen führt.

First-Passage-Probleme in partitionierten Räumen lassen sich mit Hilfe einer neuartigen verallgemeinerten Mastergleichung lösen.

News vom 30.04.2021

Motiviert durch molekulare Transportprozesse im Inneren von Zellen schlagen wir einen modular aufgebauten, mathematischen Formalismus vor, um First-Passage-Probleme bei Diffusion in räumlich aufgeteilten Medien zu behandeln. Dabei können sich die räumlichen Bereiche bezüglich ihrer Diffusivität, Geometrie und Dimensionalität unterscheiden, aber auch durch ihre Transportmodi, die beispielsweise zwischen diffusiver, selbstgetriebener oder anomaler Bewegung wechseln.

Der Ansatz beruht auf einer Vergröberung der Teilchenbewegung, indem die Trajektorien an Domänengrenzen oder bei einem Wechsel des Transportmodus geteilt werden. Daraus ergibt sich eine kleine Zahl von Zuständen. Die zeitliche Entwicklung des reduzierten Modells folgt einer verallgemeinerten Mastergleichung (GME) für nicht-Markovsche Sprungprozesse; die GME hat die Form eines Systems von linearen Integro-Differentialgleichungen in den Besetzungswahrscheinlichkeiten der Zustände und den entsprechenden Wahrscheinlichkeitsflüssen. Weitere Bausteine des Modells sind partielle First-Passage-Zeit (FPZ)-Dichten, die das Transportverhalten in jeder Domäne oder jedem Zustand separat kodieren.

Nach Aufstellung der allgemeinen Gleichungen für mehrere Domänen wird die Methode für ein Suchproblem mit zwei Domänen und einem absorbierenden Ziel demonstriert und durch Vergleich mit bekannten Ergebnissen validiert. Insbesondere wird die Situation zweier Domänen mit unterschiedlichen Diffusivitäten betrachtet. Nach einer Laplace-Transformation ist das Gleichungssystem für die FPZ-Dichten analytisch lösbar. Durch numerische Rücktransformationen erhalten wir FPZ-Dichten über viele Größenordnungen in der Zeit. Dies zeigt auch, dass geometrische Parameter und räumliche Heterogenitäten zu zusätzlichen charakteristischen Zeitskalen führen können.

(Übersetzt mit Unterstützung durch www.DeepL.com/Translator)

Publikation:

D. Frömberg and F. Höfling, Generalized master equation for first-passage problems in partitioned spaces, J. Phys. A: Math. Theor. 54, 215601 (2021).

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