Analyse und Simulation fraktioneller Diffusionsprozesse mittels parametrischer Subordination

16.02.2011 | 17:00 s.t

Ort

 

BMG Vortrag von

 

 

Abstrakt:  Ersetzt man in der üblichen Diffusionsgleichung die zeitliche Ableitung erster und die räumliche zweiter Ordnung durch Ableitungen nichtganzzahliger Ordnung, so erhält man eine fraktionelle Diffusionsgleichung, deren Lösung die zeitliche Evolution der Dichte einer diffundierenden extensiven Größe, etwa der örtichen Aufenthaltswahrscheinlichkeit eines diffundierenden Teilchens, beschreibt. Nach einem Überblick über analytische Bestimmung der Lösung (das ist der makroskopische Aspekt) wenden wir uns dem Problem der Simulation von Trajektorien diffundierender Teilchen (dem mikroskopischen Aspekt) zu. Als klassische Näherungsmethode ist bei Physikern der sogenannte "Continuous Time Random Walk" (CTRW) beliebt. Hingegen ist es auch möglich, eine Folge präziser Schnappschuesse einer echten Trajektorie zu produzieren. Dies geschieht durch einen Wechsel von der natürlichen Zeit zu einer "operationellen Zeit", in der man die Simulation durchführt. Durch zwei Markov-Prozesse entsteht im Ablauf der operationellen Zeit sowohl die natürliche Zeit als auch die Bewegung im Ort. Elimination der operationellen Zeit ergibt schließlich die gewünschte Trajektorie. Bemerkenswert hierbei ist, wie durch Kombination zweier Markov-Prozesse ein Nicht-Markov-Prozess entsteht. Die beiden Markov-Prozesse können auf zwei Weisen gewonnen und analysiert werden:

(a) durch wohlskalierten Grenzübergang aus dem CTRW-Modell,

(b) direkt aus einer Integralform der Lösung der fraktionellen Diffusionsgleichung.

 

Zeit & Ort

16.02.2011 | 17:00 s.t

Institut für Mathematik, Arnimallee 6, SR 032